Stichprobenumfang

Die Anzahl von zu befragenden Personen

Mit einer versucht man, die Verteilung von Eigenschaften in der abzuleiten. Dabei ist man natürlich bestrebt, möglichst wenige Elemente erheben zu müssen, und gleichzeitig ausreichend viele, um valide Ergebnisse zu erhalten. Einfacher ausgedrückt stellt sich damit immer wieder die Frage: Wieviele Personen muß ich befragen (Stichprobenumfang), um ein verläßliches Resultat zu erhalten, das repräsentativ für alle Personen in einer Zielgruppe () ist.

Dies ist durchaus kein triviales Problem. Es hängt von vielen Faktoren ab. Jedoch kann man in den meisten praktischen Anwendungsfällen von bestimmten Annahmen ausgehen, wodurch sich die Komplexität reduzieren läßt. Insbesondere unterstellen wir bei unseren Ausführungen, daß es sich um eine Grundgesamtheit handelt, für die gilt (Regel zur Zulässigkeit der vereinfachten Bestimmung des Stichprobenumfangs):
Regel zur Zulässigkeit der vereinfachten Bestimmung des Stichprobenumfangs

Dabei steht n für die Anzahl der Elemente (bzw. meist Personen) in der Grundgesamtheit, und p für den geschätzten Anteil der zu untersuchenden Eigenschaft. Man kann sich als Faustregel merken, daß man niemals Probleme hat, wenn die Grundgesamtheit mind. 1.000 Personen umfaßt und das erwartete Ergebnis mind. 1% ist. Dies deckt den Großteil realer Anwendungsfälle ab.

Einige Beispiele für die Zulässigkeit bei unterschiedlichen Szenarien:

Grundgesamtheit n Geschätzter Anteil p Ergebnis der Regel Anwendung der Vereinfachung zulässig
100 0,01 0,99 Nein
100 0,1 9 Ja
500 0,01 4,95 Nein
500 0,02 9,8 Ja
1000 0,01 9,9 Ja
2000 0,01 19,8 Ja
5000 0,005 24,875 Ja

Unter diesen Voraussetungen ist es nun recht einfach, den benötigten Stichprobenumfang zu bestimmen, er errechnet sich nach folgender Formel:
Berechnung des benötigten Stichprobenumfangs

Hierbei benötigt man zwei weitere Parameter:

z (vergessen Sie die umständliche Schreibweise) ist ein Wert, den man aus einer Tabelle entnimmt, er ist abhängig von dem “Sicherheitsniveau” (1 – alpha), und beträgt z.B. für (1 – alpha) = 95% genau 1,96.

Weitere typische “z-Werte” sind:

Aussagewahrscheinlichkeit 50% 75% 90% 95% 97,5% 99%
z-Wert 0,674 1,15 1,645 1,96 2,24 2,57

Ferner müssen Sie bei e eine Genauigkeit in Prozent angeben. Die Genauigkeit bezieht sich auf den tatsächlichen Anteilswert.

Verwenden Sie also z = 1,96 und e = 0,01, so bedeutet dies, daß sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% den tatsächlichen Anteilswert im Bereich von +/- 1% erhalten werden. In der Tat stellt diese Kombination eine gute und gängige Praxis dar.

Umsetzung in Excel:
Stichprobenumfang: Umsetzung in Excel

Mit den selbst anzugegebenden Werten in den Zellen A2, B2 und C2 ergibt sich der benötigte Stichprobenumfang in D2, indem man dort folgende Formel einfügt:
=RUNDEN(B2^2*A2*(1-A2)/C2^2;0)

Dieses Beispiel ließt sich also wie folgt:
Wenn man schätzt, daß auf 6% in einer Grundgesamtheit eine Eigenschaft zutrifft, dann muß man mind. 2.167 Personen befragen, um mit einem Sicherheitsniveau von 95% bei einer Genauigkeit von +/- 1% den tatsächlichen Anteil zu erhalten.

Man kann nun anhand der Parameter z und e den benötigten Stichprobenumfang variieren. Reduziert man das Sicherheitsniveau auf 90% (z-Wert = 1,645) bei derselben geforderten Genauigkeit von +/- 1%, so benötigt man nur noch 1.526 Personen.

Folgend für unser Fallbeispiel eine Übersicht unterschiedlicher Kombinationen:

p z 1-α e Stichprobenumfang Interpretation
0,06 1,96 0,95 0,01 2167 Bei geschätztem Anteil 6%, muß man mind. 2.167 Personen befragen, um bei Sicherheitsniveau 95% den tatsächlichen Anteil im Bereich 5% – 7% zu erhalten
0,06 1,645 0,9 0,01 1526 Bei geschätztem Anteil 6%, muß man mind. 1.526 Personen befragen, um bei Sicherheitsniveau 90% den tatsächlichen Anteil im Bereich 5% – 7% zu erhalten
0,06 1,96 0,95 0,015 963 Bei geschätztem Anteil 6%, muß man mind. 963 Personen befragen, um bei Sicherheitsniveau 95% den tatsächlichen Anteil im Bereich 4,5% – 7,5% zu erhalten
0,06 1,645 0,9 0,015 678 Bei geschätztem Anteil 6%, muß man mind. 678 Personen befragen, um bei Sicherheitsniveau 90% den tatsächlichen Anteil im Bereich 4,5% – 7,5% zu erhalten
0,06 1,645 0,9 0,02 382 Bei geschätztem Anteil 6%, muß man mind. 382 Personen befragen, um bei Sicherheitsniveau 90% den tatsächlichen Anteil im Bereich 4% – 8% zu erhalten

Es wird empfohlen, für jeden Anwendungsfall eine analoge Tabelle zu erstellen, um einen sinnvollen Stichprobenumfang zu bestimmen.

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